Événements indépendants

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur la probabilité de l'autre.

Par exemple, si on lance trois fois de suite une pièce bien équilibrée, les événements « Obtenir "Face" au deuxième lancer » et « Obtenir "Pile" au troisième lancer » sont indépendants.

Définition

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tels que $P(A)\ne 0$  et $P(B)\ne 0$ .

Dire que $A$  et $B$ sont indépendants signifie que $P_A(B)=P(B)$ .

Exemple

On lance un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère les événements suivants :

• $A$ : « Obtenir un numéro strictement inférieur à 4 » ;
• $B$ : « Obtenir un numéro strictement supérieur à 4 » ;
• $C$ : « Obtenir un numéro pair ».

L'univers associé à cette expérience aléatoire est donc  $\mathrm{\Omega }=\{1;2;3;4;5;6\}$  et on a  $A=\{1;2;3\}$  ,  $B=\{5;6\}$  et  $C=\{2;4;6\}$ .

1. Cherchons à déterminer si les événements $A$ et $C$ sont indépendants.

D'une part,  $P(C)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

D'autre part,  $P_A(C)={\displaystyle \frac{1}{3}}$  car, parmi les trois issues qui réalisent l'événement  $A$ , une seule est paire.

On constate donc que  $P_A(C)\ne P(C)$  : les événements  $A$  et  $C$  ne sont pas indépendants.

2. Cherchons à déterminer si les événements $B$ et $C$ sont indépendants.

D'une part,  $P(C)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

D'autre part,  $P_B(C)={\displaystyle \frac{1}{2}}$  car, parmi les deux issues qui réalisent l'événement  $B$ , une seule est paire.

On constate donc que  $P_B(C)=P(C)$  : les événements  $B$  et  $C$  sont indépendants.

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers de probabilité non nulle.

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

Démonstration

Dire que  $A$  et  $B$  sont indépendants signifie que  $P_A(B)=P(B)$ .

Or  $P(A)\ne 0$  et  $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$ donc : $P_A(B)=P(B)⟺{\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}=P(B)⟺P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

On en déduit que  $A$  et  $B$  sont indépendants si et seulement si  $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

Exemple

On reprend l'exemple précédent du lancer de dé et on cherche à déterminer si les événements  $A$  et  $B$  sont indépendants.

D'une part,  $A\cap B=\varnothing$  donc  $P(A\cap B)=0$ .

D'autre part,  $P(A)\times P(B)={\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ .

On constate donc que  $P(A\cap B)\ne P(A)\times P(B)$  :  les événements  $A$  et  $B$  ne sont pas indépendants.